イラストレーターでオブジェクトが動かなくなるのには、いくつか原因が考えられます。
下記の方法を1つずつ試してみてください。
目次
チェック1)レイヤーにロックがかかっていないか?
まずはレイヤーにロックがかかっていないか確かめましょう。

ドックで「レイヤー」をクリックし、鍵マークがついている場合はそれを外します。
鍵マークがついていない状態では自由に編集できますが、鍵マークがついている場合は編集不可になります。
レイヤーには鍵マークがついていなくても、サブレイヤーに鍵マークがついている場合もあるので注意深く見てください。
チェック2)図形やなどのオブジェクトがロックされていないか?
図形などのオブジェクトにロックがかかっている場合があります。

メニューバーの「オブジェクト」で「すべてをロック解除」をクリックするとロックが解除されます。
チェック3)新規にアートボードを作成してオブジェクトが動くか?
上記の2つチェックポイントに該当しない場合、イラストレーターの操作途中で何らかのエラーが生じている可能性があります。
その場合は一度、新規のアートボードを作成してみましょう。

「ファイル」で「新規」をクリックし、任意のサイズのアートボードを開きます。

任意のサイズの新規アートボードで、任意の図形を作り、そのオブジェクトが動くかどうか確かめます。

次に、そのオブジェクトを選択した状態で「コピー」をクリックします。

最初のアートボードを開き、「編集」の「ペースト」で画像を貼りつけます。
これで他のオブジェクトも動かせるようになるはずです。
それでもうまくいかない場合は、パソコンを一度再起動してみてください。